下文列出两种完整的牌型分布,并展示如何计算部分五张牌组合数。两列都不能直接表示你对阵特定对手的胜率。计算前提是一副52张标准牌,不含鬼牌或百搭牌;不计发牌顺序,每种组合机会相同,且每组只归入最高牌型。Wizard of Odds 列出了两种样本空间的计数;五张牌结果也与 Pagat 的单副牌表 一致。
比较概率前,先明确统计对象
读者所说的“扑克牌型概率”至少涉及三类问题:随机发出的五张牌属于什么牌型;随机七张牌中的最佳五张属于什么牌型;以及在已知公共牌和对手手牌范围时,特定的两张德州扑克底牌改善或获胜的概率。前两类是无条件分布;第三类必须考虑已知牌、从牌堆中排除的牌和对手模型。如何玩扑克指南解释了游戏流程,但决策时不能直接套用无条件分布表中的某一行。
德州扑克会从两张底牌和五张公共牌中选出最佳五张。但一旦知道自己的底牌或翻牌,剩余可发出的牌就受到限制。下表的七张牌来自所有随机组合,不能当作特定翻牌面上自己的牌型概率。
五张牌与七张牌:各牌型的次数和概率
下表各行互不重叠:皇家同花顺不再计入“非皇家同花顺”,同花顺也不再计入普通同花或顺子;“一对”不含两对及更强牌型。百分比按 计数 ÷ 组合总数 × 100 计算,仅在显示时四舍五入。因此显示的百分比之和可能略偏离100%,但每列整数计数之和必须准确等于该列的组合总数。
| 最高牌型 | 五张牌计数 | 五张牌概率 | 七张牌计数 | 七张牌概率 |
|---|---|---|---|---|
| 皇家同花顺 | 4 | 0.000154% | 4,324 | 0.003232% |
| 同花顺(非皇家同花顺) | 36 | 0.001385% | 37,260 | 0.027851% |
| 四条 | 624 | 0.024010% | 224,848 | 0.168067% |
| 葫芦 | 3,744 | 0.144058% | 3,473,184 | 2.596102% |
| 同花(非同花顺) | 5,108 | 0.196540% | 4,047,644 | 3.025494% |
| 顺子(非同花顺) | 10,200 | 0.392465% | 6,180,020 | 4.619382% |
| 三条 | 54,912 | 2.112845% | 6,461,620 | 4.829870% |
| 两对 | 123,552 | 4.753902% | 31,433,400 | 23.495536% |
| 一对 | 1,098,240 | 42.256903% | 58,627,800 | 43.822546% |
| 高牌 | 1,302,540 | 50.117739% | 23,294,460 | 17.411920% |
| 整数总和 | 2,598,960 | 显示四舍五入前的100% | 133,784,560 | 显示四舍五入前的100% |
五张牌中,皇家同花顺与其他同花顺合计40种,与 Pagat 的合并表一致;七张牌的两行合计41,584种。只要注明分类口径,合并展示并没有错。但不能拿合并后的数字直接与本表的“非皇家同花顺”一行比较。
五张牌的组合总数与关键牌型怎么算
顺序不会影响最终的扑克牌型:无论哪张牌排在首位,A♠ K♠ Q♠ J♠ 10♠ 都是同一组五张牌。这就是为什么分母是组合数,而不是排列数:
C(52,5) = 52! / (5! × 47!) = 2,598,960。
四种花色各有一组 A 高同花顺,因此皇家同花顺共4种。把 A-2-3-4-5 这种 A 低顺子也算进去,每种花色有10种连续五张的组合。同花顺共 10 × 4 = 40 种,扣除皇家同花顺后,其他同花顺有36种。
计算恰好一对时:对子点数有13种选择,从四种花色中选两种有C(4,2) = 6种;其余三张必须从另外12个点数中选出三个不同的点数,有C(12,3) = 220种,再为每张单牌各选四种花色之一。因此共有13 × 6 × 220 × 4³ = 1,098,240种。后三张点数不同,避免把两对、三条或葫芦计入一对;对子本身使用两种花色,也无需再排除同花。
计算普通同花时,先选一种花色,再从该花色的13张牌中选5张,最后排除10种同花顺:4 × (C(13,5) − 10) = 4 × (1,287 − 10) = 5,108。否则,同花顺会被重复计入同花。Wizard of Odds 的牌型计数推导说明了其他牌型的计算方法;完整概率表可用于核对总数。
核对全表时,可先为52张牌编号,按编号顺序枚举每组五张或七张牌,每组只计算一次,并归入其最高牌型。先判定同一花色的连续五张,再判定普通同花与顺子;四条、葫芦和对子按相同点数的张数判定。A-2-3-4-5 算五高顺子。每组只给一行加1,最后核对十行之和是否等于 C(52,5) 或 C(52,7)。七张牌按其中最佳五张分类,不是把21种五张子集当作独立牌局。
为什么不能把五张牌的概率乘以21
从7张牌中选5张有 C(7,5) = 21 种方法,但这些五张牌子集会共享卡牌;同一组七张牌也可能组成不止一种牌型。表格只按其中最强的牌型计数一次。把五张牌的概率乘以21会重复计算,结果甚至可能超过100%。正确做法是将 133,784,560 组七张牌逐一按最佳五张分类。上表的整数件数与 Wizard of Odds 的七张牌分布一致,各行相加也等于该分母。
这也解释了高牌占比为何大幅变化。随机五张牌中,有 1,302,540 种组合没有一对或更强牌型,约占 50.12%。随机七张牌中,有 23,294,460 种组合的最佳五张牌仍是没有对子的高牌,约占 17.41%。这些数值描述的是牌型出现频率,不是 A 高牌击败特定对手的概率。
已知手牌会形成新的样本空间
假设你持有 A♠ K♠,翻牌为 Q♠ 7♠ 2♦。已知五张牌,转牌前还剩47张未见牌,其中九张是黑桃。因此转牌是黑桃的概率为 9 / 47 ≈ 19.15%。若从47张未见牌中连续发出两张不同的牌且没有新的已知信息,转牌或河牌至少有一张黑桃的概率为 1 − (38/47 × 37/46) ≈ 34.97%。这里出现黑桃可让你组成同花,却不能保证赢下底池:对手可能在某些后续公共牌下组成葫芦或同花顺;没有黑桃时你也可能获胜。
已知牌或要计算的事件一变,分母和计算方式也要跟着变。如果知道对手的具体手牌,还须从47张未见牌中排除那两张。计算获胜概率时,要考虑对手的手牌或手牌范围、之后的公共牌和平局;摊牌权益与考虑下注后的实际决策也不是一回事。摸到黑桃的概率不能直接当作实际权益或跟注依据。
在实际牌局中,计算前请先记录公共牌、行动及假设条件。牌局回顾指南提供了此类记录;但它并不能将此无条件频率表转化为获胜概率估计。
| 问题 | 本例中正确的分母 | 计算对象 |
|---|---|---|
| 下一张牌是黑桃 | 47 | 转牌圈剩余的9张黑桃。 |
| 转牌和河牌中至少有一张黑桃 | C(47,2) 种无序出牌组合,或连续出牌的 47 × 46 种情况 | 从 38 张非黑桃牌中抽中两张的补集。 |
| 在未知任何牌之前,从七张随机牌中选出的最佳牌型 | C(52,7) | 所有七张牌组合中最高的五张牌型 |
| 战胜指定对手的概率 | 取决于已移除的牌和范围权重 | 包括平局在内的摊牌结果 |
阅读概率图表时的常见错误
将频率与强度混为一谈。 某些罕见牌型在标准高牌扑克中排名靠前,但该类别的无条件出现频率并不能说明其在对抗特定范围时能赢得多少。 扑克牌型排名指南 解答了类别排序的问题; 而本表则说明了在两种指定发牌情况下,各类牌型的出现频率。
把随机五张牌的分布当作德州扑克河牌结果。 “五张牌”一栏统计随机五张牌。德州扑克到河牌圈时,玩家可从两张底牌和五张公共牌中选出最佳五张。若自己的两张底牌已知,可能的组合还会进一步缩小。
合并重叠的类别。 在日常用语中,同花顺也属于同花,但本表仅将每组牌分配到其最高类别。请核查是否有其他图表将皇家同花顺与其他同花顺合并在一起。
把听牌张数当作胜率。 剩余九张黑桃只是在统计摸到黑桃的事件;它没有计入对手底牌、对手可能在后续牌面反超,或公共牌同时帮助双方的情形。
比较四舍五入后的总和。 显示百分比在最后一位小数上的舍入,可能使总和不恰好等于100%。请先核对整数计数之和是否等于组合总数。
常见问题
随机发出的五张牌组成皇家同花顺的概率是多少? 4 / 2,598,960,约 0.000154%,即每649,740组五张牌中有一组。前提是从一副标准牌中均匀随机抽取五张,不换牌,也不使用百搭牌。
在七张可用牌中,皇家同花顺是否同样罕见? 不是。133,784,560组七张牌中有4,324组包含皇家同花顺,约为0.003232%。不要把这两个无条件概率直接套用于已知底牌和公共牌的牌局。
到河牌时至少出现一张黑桃的概率为34.97%,是否意味着获胜概率也是34.97%? 不是。这只表示在所述已知牌模型下,转牌或河牌至少有一张黑桃。胜负仍取决于对手和最终公共牌。
来源与计算边界
五张牌和七张牌类别的计数来自Wizard of Odds 的扑克概率表,五张牌类别也与Pagat 的单副牌表格核对。上文重新计算了五张牌皇家同花顺、同花顺、一对和同花的计数,以及已知牌条件下的黑桃示例。穷举全部 2,598,960 种五张牌组合和 133,784,560 种七张牌组合,也复现了十个类别的计数。本文没有测量实战胜率,也不提供针对特定平台的策略建议。
